递推数列的极限

单调有界函数

单调有界准则

若 $ {a_{n}} $ 单调递增, 且有上界, 则 $ {a_{n}} $ 收敛；

若 $ {a_{n}} $ 单调递减, 且有下界, 则 $ {a_{n}} $ 收敛。

界

先算极限(草稿纸)

有界性

数学归纳法

单调性

做差

注意

$ a_{n + 1} = f(a_{n}) $

$ f(x) $ 递增, 且 $ a_{2} \gt a_{1} $,则 $ {a_{n}} $ 递增。
$ f(x) $ 递增, 且 $ a_{2} \lt a_{1} $,则 $ {a_{n}} $ 递减。
$ f(x) $ 递减, 则 $ {a_{n}} $ 一定不单调, 但 $ {a_{n}} $ 的奇子列 $ {a_{2n + 1}} $ 和偶子列 $ {a_{2n}} $ 一定各自单调，且单调性相反。

非单调的递推数列

夹逼准则

求极限

放缩,求得 $ 0 \leq| x_{n + 1} - A | \leq k | x_{n} - A | $ $ k \in (0, 1) $

注意

不只适用非单调。

压缩映像原理

设当 $ a \leq x \leq b $ 时, $ a \leq f(x) \leq b $, 并设 $ \exists{k} \in [0, 1) $, 对于 $ [a, b] $ 上任意两点 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $, 都有 $ | f(x_{1}) - f(x_{2}) | \leq k | x_{1} - x_{2} | $.

存在唯一的 $ \xi \in [a, b] $ , 使得 $ f(\xi) = \xi $ 。

连续性:
$$
0 \leq \lim \limits _{\Delta{x} \to 0} {| f(x + \Delta{x}) - f(x) |} \leq \lim \limits _{\Delta{x} \to 0} {k|\Delta{x}|} = 0 \
\lim \limits _{\Delta{x} \to 0} {f(x + \Delta{x})} = f(x)
$$

存在性:
$$
\begin{align}
&令 F(x) = f(x) - x, 则 F(a) = f(a) - a, F(b) = f(b) - b. \ \
&若 f(a) > a 且 f(b) < b, \
&F(a) \gt 0, F(b) \lt 0, 零点定理, \exists{\xi} \in (a, b), s.t. F(\xi) = 0, 即 f(\xi) = \xi. \ \
&若f(a) = a, 取 \xi = a. \ \
&若f(b) = b, 取 \xi = b.
\end{align}
$$
唯一性:
$$
\begin{align}
&若 f(a) = a, f(b) = b \
&b - a = | f(b) - f(a) | \leq k | b - a | = k (b - a) \
&k \geq 1, 与题干 {k} \in [0, 1) 矛盾.
\end{align}
$$

对于任意给定的 $ x_{1} = \in [a, b] $, 定义 $ x_{n + 1} = f(x_{n}) $, 证明 $ { x_{n} } $ 收敛, 且 $ \lim \limits _{n \to \infty} {x _{n} } = \xi $.

$$
0 \leq \lim \limits {n \to \infty} {| x{n + 1} - \xi |} = \lim \limits {n \to \infty} {| f(x{n}) - \xi |} \leq \lim \limits {n \to \infty} {k | x{n} - \xi|} \leq \lim \limits {n \to \infty} {k^{2} |x{n - 1} - \xi|} \leq ··· \leq \lim \limits {n \to \infty} {k^{n - 1} | x{2} - \xi |} = 0
$$

推论

设 $ x_{n + 1} = f(x_{n}) $, 若存在 $ 0 \lt k \lt 1 $, s.t. $ | f’(x) | \leq k $ 成立, 则 $ { x_{n} } $ 一定收敛.
$$
\begin{align}
&设如果{ x_{n} } 收敛, 极限为A \
&0 \leq \lim \limits {n \to \infty} {| x{n + 1} - A |} = \lim \limits {n \to \infty} {| f(x{n}) - A |} \leq \lim \limits {n \to \infty} {| f’(\xi) || x{n} - A|} \leq \lim \limits {n \to \infty} {k |x{n - 1} - \xi|} \leq \lim \limits {n \to \infty} {k^{2} |x{n - 1} - \xi|} \leq ··· \leq \lim \limits {n \to \infty} {k^{n - 1} | x{2} - \xi |} = 0
\end{align}
$$

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