连续性、间断点、渐近线

连续性和间断点

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连续性

若 $ \lim \limits _{x \to a} {f(x)} = f(a)$ ，则称 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处连续。

若 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 内的每一点都连续，则称 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 内连续。

若 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 连续的前提下，还有 $ f(a) = f(a + 0) $ ，$ f(b) = f(b - 0) $ ，则称 $ f(x) $在 $ [a,b] $ 连续。

注意

1. 两个连续函数经过加、减、乘、除（需要保证分母不为零）、复合运算后的函数，仍然是连续函数。
2. 初等函数在其定义区间一定连续(对反幂指三)
3. 把 $ \lim \limits _{x \to a} {f(x)} = f(a)$ 写成增量形式 $ \lim \limits _{\Delta{x} \to 0} {f(a + \Delta{x})} = f(a)$ ，这两种写法没有本质上的区别，但是有些证明题中往往使用第二种形式会更加方便，尤其是证明抽象函数的连续性时。

间断点

第一类间断点

$ f(a - 0) $ 和 $ f(a + 0) $ 都存在

可去间断点

$ f(a - 0) = f(a + 0) \neq f(a) $ , 则称 $ x = a $ 为可去间断点。

跳跃间断点

$ f(a - 0) \neq f(a + 0) $ , 则称 $ x = a $ 为跳跃间断点。

注意

$ f(a - 0) = f(a + 0) $ , 但 $ f(a) $ 无定义，$ x = a $ 也是可去间断点。

第二类间断点

若 $ f(a - 0) $ 和 $ f(a + 0) $ 中至少有一个不存在，则称 $ x = a $ 为 $ f(a) $ 的第二类间断点。

无穷间断点

若 $ f(a - 0) $ 和 $ f(a + 0) $ 至少有一个是 $ \infty $ ，则称 $ x = a $ 是无穷间断点。

震荡间断点

若 $ f(a - 0) $ 和 $ f(a + 0) $ 至少有一个是上下震荡，则称 $ x = a $ 是震荡间断点。

闭区间上连续函数的性质

最值定理

设 $ f(x) \in C[a, b] $, 则 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上一定存在最大值 $ M $ 和最小值 $ m $。

介值定理

设 $ f(x) \in C[a, b] $, 则对于 $ \forall{k} \in [m, M] $, 均 $ \exists{\xi} \in [a, b] $ , 使得$ f(\xi) = k $。

零点定理

设 $ f(x) \in C[a, b] $, 且 $ f(a)f(b) \lt 0 $, 则 $ \exists{\xi} \in (a, b) $ , 使得$ f(\xi) = 0 $。

渐近线

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水平渐近线

若 $ \lim \limits _{x \to + \infty} {f(x)} = A $ ,则称直线 $ y = A $ 是曲线 $ y = f(x) $ 的一条水平渐近线。

同理，若 $ \lim \limits _{x \to - \infty} {f(x)} = B $，则称直线 $ y = B $ 也是曲线 $ y = f(x) $ 的一条水平渐近线。

注意

1. 水平渐近线最多只能有两条！

竖直渐近线

若 $ \lim \limits _{x \to a} {f(x)} = \infty $ 或 $ \lim \limits _{x \to a^{-} } {f(x)} = \infty $ 或 $ \lim \limits _{x \to a^{+} } {f(x)} = \infty $ ，则称直线 $ x = a $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的竖直渐近线。

注意

1. 竖直渐近线可以有无数条。
2. 竖直渐近线所在的位置，一定是间断点的位置；但间断点的位置，不一定有竖直渐近线。

斜渐近线

若 $ \lim \limits _{x \to + \infty} { \frac{f(x)}{x} } = a(a \neq 0) $ ,且 $ \lim \limits _{x \to + \infty} {[f(x) - ax]} = b $ 则称 $ y = ax + b $ 是 $ y = f(x) $ 的一条斜渐近线。

注意

1. 斜渐近线最多也只能有两条，并且水平渐近线和斜渐近线总共也最多只有两条，且在同一方向上，水平与斜不能共存。

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