一元函数微分学

导数和微分

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导数

左导数 $ f’_{\_}(x_{0}) = \lim \limits_{\Delta{x} \to 0^{-} } {\frac{f(x_{0} + \Delta{x}) - f(x_{0}
)}{\Delta{x} } } = \lim \limits_{x \to x_{0}^{-} } {\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0} } } $

右导数 $ f’_{+}(x_{0}) = \lim \limits_{\Delta{x} \to 0^{+} } {\frac{f(x_{0} + \Delta{x}) - f(x_{0})
}{\Delta{x} } } = \lim \limits_{x \to x_{0}^{+} } {\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0} } } $

$ f(x) $ 在 $ x = x_{0} $ 处可导的充要条件为左右导数相等, 即 $ f’_{\_}(x_{0}) = f’_{+}(x_{0})$

基本求导公式

导数的四则运算

各种类型的求导法则

复合函数求导

反函数求导

隐函数求导

分段函数求导

注意

1. 研究 “抽象函数在具体一点的处的导数” 和 “分段函数在分段点处的导数” 一般用导数定义。
2. 可导一定连续, 但连续不一定可导。

微分

$ \Delta{y} = A · \Delta{x} + o(\Delta{x}) $

$ \Delta{y} = d_{y} + o(\Delta{x}) \approx f’(x_{0}) \Delta{x} $

$ d_{y} = f’(x_{0}) d{x} $

脱帽法

$ \lim \limits_{x \to x_{0} } {f(x)} = A \Leftrightarrow f(x) = A + \alpha(x) $ 其中 $ \lim \limits_{x \to x_{0} } {\alpha{(x)} } = 0$

可微 $ \Leftrightarrow $ 可导

$$
\begin{align}
& 必要性: \\
& \exists{A} \quad s.t. \\
& f(x + \Delta{x}) - f(x) = A \Delta{x} + o(\Delta{x}) \\
& \lim \limits _{\Delta{x} \to 0}[\frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x} }] = A + \frac{o(\Delta{x})}{\Delta{x} } = A \\ \\
& 充分性: \\
& \lim \limits _{\Delta{x} \to 0}[\frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x} }] = k \\
& \frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x} } = k + \alpha{(\Delta{x})} \\
& f(x + \Delta{x}) - f(x) = k \Delta{x} + \alpha{(x)} \Delta{x} = A \Delta{x} + o(\Delta{x}) \\
\end{align}
$$

单调性与极值

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单调性

注意

1. 可导函数 $ f(x) $ 严格递增, 无法反推 $ f’(x) \gt 0 $, 只能推出 $ f’(x) \geq 0 $。
2. 个别孤立点 $ f’(x) = 0 $, 其他 $ f’(x) > 0 $, 则 $ f(x) $ 仍然严格递增。
3. $ f’(x_{0}) \gt 0 $ 推不出 $ f(x) $ 在 $ x = x_{0} $ 的邻域内递增。

极值

必要条件(费马引理)

$ f(x) $ 在 $ x = x_{0} $ 取极值, 且可导, 则必有 $ f’(x_{0}) = 0 $

充分条件

$ f(x) $ 在 $ x_{0} $ 处二阶可导, $ f’(x_{0}) = 0 $, $ f’’(x_{0}) \neq 0 $, 则 $ f(x) $ 在 $ x = x_{0} $ 处必定取极值。

$ f’(x_{0}) = 0 $, $ f’’(x_{0}) \gt 0 $, 则 $ f(x_{0}) $ 是极小值; $ f’(x_{0}) = 0 $, $ f’’(x_{0}) \lt 0 $, 则 $ f(x_{0}) $ 是极大值。

$ f’(x_{0}) = f’’(x_{0}) = ··· = f^{(n - 1)}(x_{0}) = 0 $, $ f^{(n)}(x_{0}) \neq 0 $, 当 $ n $ 是偶数, 则 $ f(x_{0}) $ 是极值。

最值

驻点、不可导点、端点。

凹凸性和拐点

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凹凸性

$ f(x) $ 在定义域上连续。

$ x_{1} \neq x_{2} $, 均有 $ f(\frac{x_{1} + x_{2} }{2}) \lt \frac{x_{1} + x_{2} }{2} $, 凹。

$ x_{1} \neq x_{2} $, 均有 $ f(\frac{x_{1} + x_{2} }{2}) \gt \frac{x_{1} + x_{2} }{2} $, 凸。

在 $ x \in [x_{1}, x_{2}] $ 均有 $ f(x) \gt 0 $, 凹。

在 $ x \in [x_{1}, x_{2}] $ 均有 $ f(x) \lt 0 $, 凸。

$ f’(x_{0}) \gt 0 $ 且 $ f’(x_{0}) $ 连续, 凹。

$ f’(x_{0}) \lt 0 $ 且 $ f’(x_{0}) $ 连续, 凸。

注意

1. 可导函数 $ f(x) $ 严格凹函数, 无法反推 $ f’(x) \gt 0 $。

拐点

$ f’’(x_{0}) = 0 $, $ f’’’(x_{0}) \neq 0 $。

$ f’’(x_{0}) = f’’’(x_{0}) = ··· = f^{(n - 1)}(x_{0}) = 0 $, $ f^{(n)}(x_{0}) \neq 0 $, 当 $ n $ 是奇数, 则 $ [x_{0}, f(x_{0})] $ 是拐点。

注意

1. 拐点是点坐标，极值点是横坐标。

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